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轴对称
一、内容综述:
轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。
轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。
对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。
垂直平分线（中垂线）：垂直并且平分一条线段的直线。
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
结论：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
二、例题分析：
例1：在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图形？他们各有几条对称轴？
上
下 目 天 田 土 吕 林 显 王
答案：田有四条对称轴
王
目有两条对称轴
天
土 吕 显有一条对称轴
上
下 林不是轴对称图形
例2：判断题
1）两个关于某直线对称的图形是一模一样的。
（ ）
2）两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（ ）
3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴
（ ）
4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称
（ ）
答案：（1）对（2）错。对称点有可能在对称轴上。（3）对（4）错
例3：如图，草原上两个居民点A,B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在途中画出该点。
答案：过A做L的垂线，找到A点关于L的对称点C,
连接BC
,交L与D点
汽车在D点加水，可使得行驶的路程最短
因为A,C关于L对称，所以AD=CD
B,C,D共线
故AD+BD=BC
由“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”
可知：在L上除D以外任何其他点均不能与B,C在同一直线上
（提示：也可以先找B关于L的对称点E然后连接AE,AE与L的交点也是D点）
例4
已知如图1，MN垂直平分线段AB，CD垂足分别为E，F．
求证：AC=BD，∠ACD=∠BDC．
证明
由于MN垂直平分线段AB，CD，可知点A与B、C与D都关于直线MN对称，则四边形ACDB关于直线MN对称，而且AC与BD是一组对应边，∠ACD与∠BDC是一组对应角，根据对称性易得AC＝BD，∠ACD=∠BDC
例5
已知：如图2，D为△ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：BE＋CF＞EF
证明
根据DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，所以如果把△BDE沿DE折叠，点B必落在AD上，设此点为点G，且有DG＝DB，EG=EB．同理将△CDF沿DF折叠，点C也必落在AD上，设此点为点G＇，且有DG＇＝DC，FG＇＝FC．而BD＝DC，则DG=DG＇，即点G与G＇重合．且∠EGF＝∠B+∠C，即E、G、F三点不共线．
故有EG＋FG＞EF，即有BE＋CF＞EF．
注
本题也可直接在AD上截取DG=BD，连EF，FG．
例6．已知：△ABC中，BA=BC，∠ABC=80°，点P在△ABC内，并且∠PAC=40°，∠PCA=30°．求：∠BPC．
分析：首先，画一个图，AC是等腰三角形的底边，所以将它放在水平位置，顶点B放在中间位置，这样便于利用等腰三角形的对称性(画图大有讲究，如果按照平常习惯，将A画在中间，不是不可以，但没有上面的画法清晰)．
解：作高BD(也就是△ABC的对称轴)，交PC于E，连EA．易知
EA=EC，∠EAC=∠ECA=30°，
所以 ∠PAE=40°-30°=10°=∠BAP．
又易知 ∠PEA=∠EAC+∠ECA=60°=40°＋20°=∠PEB．
因此，AP、PE是△ABE的角平分线，P是△ABE的内心．从而PB平分∠ABE，于是∠BPC=100°．
总结
本题有两个关键：
作出△ABC的对称轴，充分利用对称性；
发现P是△ABE的内心．
例7：已知：在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB,
△BCE周长为8，且AC-BC=2,求AB,BC的长。
解：因为,D是AB的中点，且DE⊥AB
所以DE是AB的垂直平分线
故：BE=AE
(1)
又因为△BCE周长为8
即BE+EC+CB=8
(2)
将（2）代入（1）得
AE+EC+CB=8
即AC+BC=8
又因为AC-BC=2
所以AC=5,即AB=5
BC=3
问题探究：在纸上画一个三角形，你能否不借助作图的工具（直尺、圆规、量角器等），找到这个三角形中到各边距离相等的点。
答案：利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”的思想。采用对折的方法：将两个角对折，折痕的交点即为所求。
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