与计算有关的推理问题

    在推理问题中，还有一类与计算有关。解决这类问题通常要涉及到整数的性质、拆分，以及筛选与枚举等知识和方法。

   （一）阅读思考

    例1. 一次射箭比赛，甲、乙两位选手三次的环数之积均为36，且总环数相同，甲的最高环数大于乙的最高环数。求甲的三次成绩。
    分析与解答：我们可以先想一想，这三次环数是三个自然数。而三个自然数之积为36，共有下面8种情况：（1，1，36），（1，2，18），（1，3，12），（1，4，9），（2，2，9），（2，3，6），（3，3，4）。
    又因为甲、乙的总环数相同，从这些情况中选出满足条件的是（1，6，6）和（2，2，9），它们的和均为13环。
    又根据甲的最高环数大于乙的最高环数，可知甲的三次成绩分别为2环、2环和9环。

    例2. 学校进行了一次考试，考试的科目是语文、历史、数学、物理和英语，每科满分为5分，其余等级依次为4分、3分、2分、1分，现已知总分按从多到少排列着的某五名学生A、B、C、D、E满足下列条件：
   （1）在同一科目以及在总分中没有得同样分数的人；
   （2）A的总分是24分；
   （3）C有四门科目得了相同的分数；
   （4）E语文得3分，物理得5分；
   （5）D的历史得4分。
    列出这次考试每个人的成绩表。
    分析与解答：
    由（1）可知，这五个人的总分应为 （分）
    因为A总分为24分，所以其他四人的得分总和是 （分），又由条件（4）可知，E至少应得到11分。由于E的总分最低，所以B、C、D的总分则是15、13、12。
    再由条件（4）可知，E的英语、历史、数学成绩均为1分。
    由条件（2）可知，A有四科5分，一科4分。因为E物理得5分，所以A的物理得4分，其它各科均为5分。由C的总分为13分和条件（3）可知，C有四科3分，一科1分，因为E语文得3分，所以C的语文得1分，其它各科均为3分。
    因为D的总分为12分，且D历史得4分，所以其它各科只能均为2分。
    由此可以推出B的各科成绩，可以列出下表：

    例3. A、B、C三名同学参加了一次考试，试题共10道，都是正误题，每道题10分，满分为100分。正确的画“√”，错误的画“×”。他们的答卷如下表。
    考试成绩公布后，三人都得70分。请你给出各题的正确答案。

    分析与解答：通过观察上表，可以看出A与B的答案可知，A、B有4道题答案相同，6道题答案不同。因为他们两人都得70分，所以4道答案相同的题是答对的，6道答案不同的题则各对了3道。所以可以知道，第1、3、4、10题的答案分别是×、√、√、×。
    同样道理，B、C有4道题答案相同，根据每人都是70分，可知他们是第2、3、5、7题的答案是×、√、√、√。
    同样道理，A、C也有4道题答案相同，这4道题都答对了，即第3、6、8、9题的答案是√、√、×、√。由此可知，1至10题的答案分别是×、×、√、√、√、√、√、×、√、×。

   （二）尝试体验
    1. A、B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛，每盘比赛规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛结果如下：（1）A与B并列第一名。（2）C是第三名。（3）D与E并列第四名。求C的得分。

    2. 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了4分子弹，全都打中了靶子，其命中情况如下：
   （1）每人四发子弹所命中的环数各不相同。
   （2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环。
   （3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中环数与丙其中两发一样。
   （4）甲与丙只有一发环数相同。
   （5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
    问甲与丙命中的相同环数是几环？

    3. 某个家庭有四名家庭成员，他们的年龄各不相同，他们的年龄总和是129岁，而其中有三个人的年龄是平方数，若倒退15年，这四人中仍有三人的年龄是平方数，你知道他们各自的年龄吗？

    4. 五位棋手参赛，任意两人都赛过一局，胜一局得2分，败一局得0分，和一局得1分，按得分多少排名次。已知第一名没下过和棋，第二名没有输过，第四名没有赢过。问这五名棋手的得分分别是多少？

   【试题答案】
   （二）尝试体验
    1. A、B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛，每盘比赛规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛结果如下：（1）A与B并列第一名。（2）C是第三名。（3）D与E并列第四名。求C的得分。
    C得4分

    2. 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了4分子弹，全都打中了靶子，其命中情况如下：
   （1）每人四发子弹所命中的环数各不相同。
   （2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环。
   （3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中环数与丙其中两发一样。
   （4）甲与丙只有一发环数相同。
   （5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
    问甲与丙命中的相同环数是几环？
    甲与丙的相同环数是6环。
    3. 某个家庭有四名家庭成员，他们的年龄各不相同，他们的年龄总和是129岁，而其中有三个人的年龄是平方数，若倒退15年，这四人中仍有三人的年龄是平方数，你知道他们各自的年龄吗？
    四个人的年龄分别是16岁、24岁、25岁、64岁。
    4. 五位棋手参赛，任意两人都赛过一局，胜一局得2分，败一局得0分，和一局得1分，按得分多少排名次。已知第一名没下过和棋，第二名没有输过，第四名没有赢过。问这五名棋手的得分分别是多少？
    5名棋手的得分分别6、5、4、3、2。