“牛吃草”问题

    今天我们一起来研究“牛吃草”问题。这一类题目的代表是世界著名大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中的一道题目。这道题是这样的：一个牧场，12头牛4周吃草 格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧草，多少头牛18周吃完？
    在“牛吃草”问题中涉及的量有三个：牛的头数，牧场面积，天数（时间）。研究的方法一般是“比较法”，但是为了方便比较，要使两种情况的草场面积相同。
    在研究“牛吃草”问题时，出发点一般是从牧草的生长量着手，因此要关心的量有两个，“原有草量”和“每天新生长的草量”。
    下面我们就来通过例题，来谈谈这类题的具体特征及解法。

    一. 阅读思考
    例1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天？
    分析：审题后，我们可以看出因为天数不同，这块牧场的总草量是不确定的。但不管多少天，总草量总是由“原有草量”和“每天新生长的草量”相加得到的。
    下面，我们就争取通过比较找出这两个量。

    从上面的图可以看出来：10头牛吃20天的总草量比15头牛吃10天的总草量多，多的部分就是10天新长出的草量。但草量没有一个明确的单位。所以我们把条件转化一下，来表示总草量：10头牛吃20天，相当于200头牛吃一天，或1头牛吃200天；15头牛吃10天，相当于150头牛吃一天或1头牛吃150天。
    这样，10头牛吃20天的总草量就比15头牛吃10天的总草量多：
    200－150＝50
    在这里，50的单位可以看作“单位1”或“份”，也就是说两种吃法总草量的差相当于50头牛吃1天的或1头牛吃50天的草量，也就是10天新生长的草量。
    那么，一天新生长的草量就相当于5头牛吃一天的草量。
    知道了一天新生的草量相当于5头牛吃一天，那么20天新生长的草量就相当于100头牛吃1天的。而原有的草量就相当于100头牛吃1天的。
    有了原有草量和新生草量，我们就可以解这道题了。
   （1）转化：
    10头牛20天吃的草可供多少头牛吃1天？    10×20＝200（头）
    15头牛吃10天的草可供多少头牛吃1天？    15×10＝150（头）
   （2）（20－10）天新生的草可供多少头牛吃1天？    200－150＝50（头）
   （3）每天的新生草量可供多少头牛吃1天？    50÷10＝5（头）
   （4）20天（或10天）新生的草可供多少头牛吃1天？    5×20＝100（头）或5×10＝50（头）
   （5）原有草量可供多少头牛吃1天？    200－100＝100（头）或150－50＝100（头）
   （6）每天25头牛中的5头吃新生的牧草，剩下的20头牛吃原有牧草，全部牧草几天吃完？
    100÷（25－5）＝5（天）
    答：25头牛5天吃完全部牧草。

    例2. 22头牛，吃33公亩牧场的草54天可吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可吃完。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃尽（每公亩牧草原草量相等，且草同等生长）？
    分析：这道题的解题思路与例1相同，也要先求出“原有草量”和“每天新生长草量”，但因为这三块地面积各不相同，所以我们应该先找出“单一量”，也就是一公亩一天所生的草相当于几头牛吃一天，一公亩原有的草相当于几头牛吃一天。
    22头牛54天吃完33公亩上的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上54天新长的草，可供22×54÷33＝36（头）牛吃一天。
    17头牛84天吃完28公亩上的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上84天新长的草，可供17×84÷28＝5（头）牛吃一天。
    那么一公亩草地上2天新生长的草量就相当于1头牛吃一天的草量。30÷15＝2（天）也就是一公亩草地上2天新长的草可供1头牛吃1天。
    因为一公亩草地上2天新长的草可供1头牛吃1天，所以一公亩54天新长的草可供27头牛吃1天，33公亩草地上54天新生长的草可供27×33＝891头牛吃1天。
    而33公亩草地上54天的总草量可以供54×22＝1188头牛吃1天，所以33公亩草地原有草量可供1188－891＝297头牛吃1天，那么1公亩上原有草就可供297÷33＝9头牛吃1天。
    下面就可以分步列式求出答案了：
    （1）一公亩一天新长草可供几头牛吃1天？    （头）
    （2）一公亩原有草可供几头牛吃1天？    （头）
   （3）40公亩24天的总草量可供几头牛吃1天？    （头）
   （4）40公亩牧场的草24天几头牛才能吃完？    （头）
    答：40公亩牧场的草35头牛24天吃尽。

    二. 尝试体验
    1. 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问卖掉4头牛前原有多少头牛？（草每日匀速生长）
    2. 牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
    3. 一片牧草，每天生长速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
    4. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可以淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
    5. 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可以抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

    【试题答案】

    1. 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问卖掉4头牛前原有多少头牛？（草每日匀速生长）
    40头牛
    2. 牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
    12周
    3. 一片牧草，每天生长速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
    8天
    4. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可以淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
    14人
    5. 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可以抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
    12台